Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x+sinx，那么下列命題中假命題是

1. A.
   f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
2. B.
   f（x）在上是增函數(shù)
3. C.
   f（x）是周期函數(shù)
4. D.
   f（x）在[-π，0]上恰有一個零點

Answer 1

D
分析：先利用特殊值法判斷 A為真命題；再利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)f′（x）在上恒正，從而B為真命題；利用函數(shù)周期性定義和誘導(dǎo)公式可證明C為真命題；故選D
解答：f（0）=1，故此函數(shù)不是奇函數(shù)，f（）=1，f（-）=-1，故函數(shù)不是偶函數(shù)，故 A為真命題；
∵f′（x）=-2cosxsinx+cosx=cosx（1-2sinx），當(dāng)x∈時，sinx∈（，1），1-2sinx＜0，cosx＜0，∴f′（x）＞0，∴f（x）在上是增函數(shù)，B為真命題；
∵f（x+2π）=cos²（x+2π）+sin（x+2π）=cos²x+sinx=f（x），∴f（x）是周期函數(shù)，故C為真命題；
令cos²x+sinx=0，即-sin²x+sinx+1=0，sinx=（舍去）或sinx=，在[-π，0]上有兩個零點，故D為假命題；
故選D
點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及其判斷方法，三角函數(shù)的單調(diào)性及其判斷方法，函數(shù)周期定義即三角方程的解法，屬基礎(chǔ)題