Question

9．如圖，正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AM}$+μ$\overrightarrow{BN}$，則λ+μ=$\frac{8}{5}$ ．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{BN}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$．由于$\overrightarrow{AC}$$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AM}$+μ$\overrightarrow{BN}$=μ（$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$）+λ（-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，利用平面向量基本定理，建立方程，求出λ，μ，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{BN}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$．
由于$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AM}$+μ$\overrightarrow{BN}$=μ（$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$）+λ（-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，
∴λ+$\frac{1}{2}$μ=1，且-$\frac{1}{2}$λ+μ=1，解得 λ=$\frac{2}{5}$，μ=$\frac{6}{5}$，
∴λ+μ=$\frac{8}{5}$，
故答案為：$\frac{8}{5}$．

點評 本題考查平面向量基本定理的運用，考查向量的加法運算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題，