Question

4．△OPQ中，|$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$|=|$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OQ}$|=4．
（1）求△OPQ面積的最大值；
（2）若點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{QP}$=4$\overrightarrow{QM}$，問：|$\overrightarrow{OM}$|是否有最大值？若有，求出最大值；若沒有．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的幾何意義可得$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，再根據(jù)三角形的面積公式和基本不等式即可求出最值．
（2）根據(jù)向量的幾何意義可得|$\overrightarrow{OM}$|=$\frac{1}{4}$|$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OQ}$|=$\frac{1}{4}$×4=1，故值為常數(shù)．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$|=|$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OQ}$|=4
∴$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}$OP•OQ≤$\frac{1}{2}$•（$\frac{OP+OQ}{2}$）²=$\frac{1}{2}$×$\frac{（OP+OQ）^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{16}{4}$=2，
（2）∵$\overrightarrow{QP}$=4$\overrightarrow{QM}$，
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{QP}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OQ}$），
∴|$\overrightarrow{OM}$|=$\frac{1}{4}$|$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OQ}$|=$\frac{1}{4}$×4=1，
∴|$\overrightarrow{OM}$|的值是常數(shù)，無最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的幾何意義和三角形的面積公式和基本不等式，屬于中檔題．