Question

17．若函數(shù)f（x）=e^x（2x-1）-mx+m有且只有一個零點，則m的取值范圍是1或4${e}^{\frac{3}{2}}$或m≤0．

Answer 1

分析 令f（x）=e^x（2x-1）-mx+m=0，可得m=$\frac{{e}^{x}（2x-1）}{x-1}$（x≠1），構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{{e}^{x}（2x-1）}{x-1}$，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)f（x）=e^x（2x-1）-mx+m有且只有一個零點，求出m的取值范圍．

解答 解：令f（x）=e^x（2x-1）-mx+m=0，
可得m=$\frac{{e}^{x}（2x-1）}{x-1}$（x≠1），
構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{{e}^{x}（2x-1）}{x-1}$，
g′（x）=$\frac{{e}^{x}（2{x}^{2}-3x）}{（x-1）^{2}}$，
∴函數(shù)g（x）在（-∞，0），（1.5，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1），（1，1.5）上單調(diào)遞減，
∵g（0）=1，g（1.5）=4${e}^{\frac{3}{2}}$，函數(shù)f（x）=e^x（2x-1）-mx+m有且只有一個零點，
∴m=1或4${e}^{\frac{3}{2}}$或m≤0，
故答案為1或4${e}^{\frac{3}{2}}$或m≤0．

點評 本題考查函數(shù)零點的判定，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵．