Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+2x²+3x（x∈R）的圖象為曲線C，問(wèn)：是否存在一條直線與曲線C同時(shí)切于兩點(diǎn)？若存在，求出符合條件的所在直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 設(shè)存在過(guò)點(diǎn)A（x₁，y₁）的切線曲線C同時(shí)切于兩點(diǎn)，另一切點(diǎn)為B（x₂，y₂），x₁≠x₂，分別求出切線，由于兩切線是同一直線，建立等式關(guān)系，根據(jù)方程的解的情況即可判斷符合條件的所有直線方程．

解答 解：設(shè)存在過(guò)點(diǎn)A（x₁，y₁）的切線曲線C同時(shí)切于兩點(diǎn)，
另一切點(diǎn)為B（x₂，y₂），x₁≠x₂，
則切線方程是：y-（$\frac{1}{3}$x₁³+2x₁²+3x₁）=（x₁²+4x₁+3）（x-x₁），
化簡(jiǎn)得：y=（x₁²+4x₁+3）x+（-$\frac{2}{3}$x₁³-2x₁²），
而過(guò)B（x₂，y₂）的切線方程是y=（x₂²+4x₂+3）x+（-$\frac{2}{3}$x₂³-2x₂²），
由于兩切線是同一直線，
則有：x₁²+4x₁+3=x₂²+4x₂+3，得x₁+x₂=-4，
又由-$\frac{2}{3}$x₁³-2x₁²=-$\frac{2}{3}$x₂³-2x₂²，
即-$\frac{2}{3}$（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）=2（x₁-x₂）（x₁+x₂）
化簡(jiǎn)可得x₁x₂=4，
解得x₂=-2，x₁=-2，這與x₁≠x₂矛盾．
所以不存在一條直線與曲線C同時(shí)切于兩點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及互相垂直的直線的斜率關(guān)系，同時(shí)考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題．