Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，}&{x≥0}\\{-x，}&{x＜0}\end{array}\right.$．
（1）f（x）有零點(diǎn)嗎？
（2）設(shè)g（x）=f（x）+k，為了使方程g（x）=0有且只有一個(gè)根，k應(yīng)該怎樣限制？
（3）當(dāng)k=-1時(shí)，g（x）有零點(diǎn)嗎？若果有，把它求出來(lái)，如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）你給k規(guī)定一個(gè)范圍，使得方程g（x）=0總有兩個(gè)根．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，}&{x≥0}\\{-x，}&{x＜0}\end{array}\right.$的圖象；
（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，得到f（x）無(wú)零點(diǎn)；
（2）若g（x）=0有且只有一個(gè)根，則-k∈（0，1），進(jìn)而得到k的范圍；
（3）當(dāng)k=-1時(shí)，g（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，（-1，0）和（0，0），進(jìn)而得到零點(diǎn)；
（4）若方程g（x）=0總有兩個(gè)根，則-k∈[1，+∞），進(jìn)而得到k的范圍；

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，}&{x≥0}\\{-x，}&{x＜0}\end{array}\right.$的圖象如下圖所示：

（1）由圖可得：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，}&{x≥0}\\{-x，}&{x＜0}\end{array}\right.$的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，
故f（x）無(wú)零點(diǎn)；
（2）∵g（x）=f（x）+k，若g（x）=0，則f（x）=-k，
若方程g（x）=0有其只有一個(gè)根，
則-k∈（0，1），
即k∈（-1，0），
（3）當(dāng)k=-1時(shí)，g（x）=f（x）-1，其圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，（-1，0）和（0，0），
故g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，分別為-1和0；
（4）若方程g（x）=0總有兩個(gè)根，
則-k∈[1，+∞），
即k∈（-∞，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是解答此類問(wèn)題常用的辦法．