Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足3a_n=2S_n+a₁（n∈N^*），且a₁+1，2a₂，a₃+5成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=log${\;}_{{a}_{n}}$9（n∈N^*）．求數(shù)列{b_nb_n+1}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足3a_n=2S_n+a₁（n∈N^*），當n≥2時，可得a_n=3a_n-1．由于a₁+1，2a₂，a₃+5成等差數(shù)列．可得2×2a₂=a₃+5+a₁+1，把a₂=3a₁，a₃=3a₂=9a₁，代入解出即可得出．
（2）b_n=log${\;}_{{a}_{n}}$9=$\frac{lo{g}_{3}9}{lo{g}_{3}{3}^{n}}$=$\frac{2}{n}$．可得b_nb_n+1=$\frac{4}{n（n+1）}$=$4（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足3a_n=2S_n+a₁（n∈N^*），
∴當n≥2時，3a_n-1=2S_n-1+a₁，可得3a_n-3a_n-1=2a_n，
化為a_n=3a_n-1，
∵a₁+1，2a₂，a₃+5成等差數(shù)列．
∴2×2a₂=a₃+5+a₁+1，化為4a₂=a₁+a₃+6，
把a₂=3a₁，a₃=3a₂=9a₁，代入上式可得：
12a₁=a₁+9a₁+6，
解得a₁=3．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為3，公比為3．
∴a_n=3ⁿ．
（2）b_n=log${\;}_{{a}_{n}}$9=$\frac{lo{g}_{3}9}{lo{g}_{3}{3}^{n}}$=$\frac{2}{n}$．
∴b_nb_n+1=$\frac{4}{n（n+1）}$=$4（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴前n項和T_n=4$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=4$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{4n}{n+1}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、遞推公式的應(yīng)用、對數(shù)的運算性質(zhì)、“裂項求和”方法，查克拉推理能力與計算能力，屬于中檔題．