Question

20．已知等比數(shù)列{a_n}中，2a₄-3a₃+a₂=0，且${a_1}=\frac{1}{2}$，公比q≠1．
（1）求a_n；
（2）設(shè){a_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證$\frac{1}{2}≤{T_n}＜1$．

Answer 1

分析 （1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公比q，即可得到所求通項(xiàng)；
（2）運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）由等比數(shù)列{a_n}中，2a₄-3a₃+a₂=0，且${a_1}=\frac{1}{2}$，公比q≠1．
得：$2{q^2}-3q+1=0⇒q=\frac{1}{2}$或q=1（舍去），
所以${a_n}={a_1}•{q^{n-1}}=\frac{1}{2}×{（\frac{1}{2}）^{n-1}}={（\frac{1}{2}）^n}$．
（2）證明：因?yàn)?{a_1}=\frac{1}{2}$，$q=\frac{1}{2}$，所以${T_n}=\frac{{\frac{1}{2}（1-{{（\frac{1}{2}）}^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}=1-{（\frac{1}{2}）^n}$，
因?yàn)?y={（\frac{1}{2}）^x}$在R上為減函數(shù)，且$y={（\frac{1}{2}）^x}＞0$恒成立，
所以當(dāng)n∈N^*，n≥1時(shí)，$0＜{（\frac{1}{2}）^n}≤\frac{1}{2}$，
所以$\frac{1}{2}≤{T_n}=1-{（\frac{1}{2}）^n}＜1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列不等式的證明，注意運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．