Question

已知點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，.直線(xiàn)，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn).

（1）求曲線(xiàn)的方程；

（2）設(shè)是曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)，分別交直線(xiàn)于點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，求直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，記直線(xiàn)與的交點(diǎn)為，試探究點(diǎn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

 

Answer 1

（1）()；（2）；（3）點(diǎn)在曲線(xiàn)上.

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)斜式求直線(xiàn)方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用斜率公式，求出直線(xiàn)AP、BP的斜率，計(jì)算得到曲線(xiàn)C的方程；第二問(wèn)，設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)AQ的方程，它與x=4交于M，則聯(lián)立得到M點(diǎn)坐標(biāo)，同理得到N點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到后，將Q點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍代入直接得到所求范圍；第三問(wèn)，結(jié)合第二問(wèn)得到直線(xiàn)AN和直線(xiàn)BM的方程，令2個(gè)方程聯(lián)立，得到T點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算知T點(diǎn)坐標(biāo)符合曲線(xiàn)C的方程，所以點(diǎn)T在曲線(xiàn)C上.

(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則(且)

所以曲線(xiàn)的方程為(). 4分

（2）法一：設(shè)，則直線(xiàn)的方程為，令，則得，直線(xiàn)的方程為，

令，則得， 6分

∵ =

∴，∴ 8分

故

∵ ，∴，

∴，

∴，

∴直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積的取值范圍為 10分

法二：設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則由題可得直線(xiàn)的斜率為，

所以直線(xiàn)的方程為，令，則得，

直線(xiàn)的方程為，令，則得，

∴，

∴ 8分

故

∴直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積的取值范圍為 10分

（3）法一：由（2）得，，

則直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為， 12分

由，解得即 12分

∴

∴ 點(diǎn)在曲線(xiàn)上. 14分

法二：由（2）得，

∴ ， 12分

∴

∴ 點(diǎn)在曲線(xiàn)上. 14分

 

法三：由（2）得，，，

∴ ， 12分

∴ 　∴ 點(diǎn)在曲線(xiàn)上. 14分

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)斜式求直線(xiàn)方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式.