Question

15．求過定點(diǎn)P（-1，1），且與拋物線y²=2x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線1的方程．

Answer 1

分析 設(shè)直線l的斜率等于k，則當(dāng) k=0時(shí)，直線l與拋物線的對稱軸平行，所以此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)．再討論直線與拋物線相切的情況，注意要分斜率存在于斜率不存在兩種情況討論．

解答 解：①設(shè)直線l的斜率等于k，
則當(dāng) k=0時(shí)，直線l的方程為 y=1，滿足直線與拋物線y²=2x僅有一個(gè)公共點(diǎn)，
當(dāng)k≠0時(shí)，直線l是拋物線的切線，設(shè)直線l的方程為 y=kx+k+1，
代入拋物線的方程可得：
k²x²+（2k²+2k-2）x+k²+2k+1=0，
根據(jù)判別式等于0，求得 k=$\frac{-1±\sqrt{3}}{2}$，故切線方程為y=$\frac{-1±\sqrt{3}}{2}$（x+1）+1．
②當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為x=-1，經(jīng)過檢驗(yàn)可得此時(shí)直線與拋物線y²=2x不相切．
故所求的直線方程為：y=1，或y=$\frac{-1±\sqrt{3}}{2}$（x+1）+1．

點(diǎn)評 本題主要考查了由直線與拋物線的位置關(guān)系的求解參數(shù)的取值范圍，一般的思路是把位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程解的問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．解題中容易漏掉斜率不存在的討論．