Question

6．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C，的對邊分別為a，b，c，且2bsinB=asinC．
（1）若cos（A-C）+cosB=1，求sinB；
（2）若cosB=$\frac{3}{4}$，△ABC的面積為$\frac{\sqrt{7}}{2}$，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡cos（A-C）+cosB=1可得sinAsinC=$\frac{1}{2}$，利用正弦定理化簡2bsinB=asinC．可得2sin²B=sinAsinC=$\frac{1}{2}$，結(jié)合B的范圍，即可求sinB的值．
（2）由正弦定理化簡已知可得：2b²=ac，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，利用三角形面積公式可求ac，b，由余弦定理及平方和公式可解得a+c，即可得解．

解答 解：（1）∵cos（A-C）+cosB=1，
⇒cos（A-C）-cos（A+C）=1，
⇒2sinAsinC=1，
⇒sinAsinC=$\frac{1}{2}$，
∵2bsinB=asinC．
∴由正弦定理可得：2sin²B=sinAsinC=$\frac{1}{2}$，
∴由B∈（0，π），解得：sinB=$\frac{1}{2}$．
（2）∵2bsinB=asinC．
∴由正弦定理可得：2b²=ac，
∵cosB=$\frac{3}{4}$，可得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴△ABC的面積為：$\frac{\sqrt{7}}{2}$=$\frac{1}{2}$acsinB=ac×$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{7}}{4}$，解得：ac=4，b=$\sqrt{\frac{ac}{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴由余弦定理可得：2=a²+c²-$\frac{3ac}{2}$=（a+c）²-2ac-$\frac{3ac}{2}$=（a+c）²-14，解得a+c=4，
∴△ABC的周長=a+c+b=4+$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及平方和公式的應(yīng)用，考查了計算能力，屬于中檔題．