Question

17．如圖，AB是⊙O的一條切線，切點為B，直線ADE、CFD、CGE都是⊙O的割線，已知AC=AB．
（1）若CG=1，CD=4．求$\frac{DE}{GF}$的值．
（2）求證：FG∥AC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓內接四邊形的性質，證出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED，可得△CGF∽△CDE，因此 $\frac{DE}{GF}$=$\frac{CD}{CG}$=4；
（2）根據(jù)切割線定理證出AB²=AD•AE，所以AC²=AD•AE，證出 $\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AE}$，結合∠EAC=∠DAC得到△ADC∽△ACE，所以∠ADC=∠ACE．再根據(jù)圓內接四邊形的性質得∠ADC=∠EGF，從而∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．

解答 解：（1）∵四邊形DEGF內接于⊙O，
∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．
因此△CGF∽△CDE，可得$\frac{DE}{GF}$=$\frac{CD}{CG}$，
又∵CG=1，CD=4，
∴$\frac{DE}{GF}$=4；
證明：（2）∵AB與⊙O的相切于點B，ADE是⊙O的割線，
∴AB²=AD•AE，
∵AB=AC，
∴AC²=AD•AE，可得 $\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AE}$，
又∵∠EAC=∠DAC，
∴△ADC∽△ACE，可得∠ADC=∠ACE，
∵四邊形DEGF內接于⊙O，
∴∠ADC=∠EGF，
因此∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．

點評 本題給出圓的切線與割線，求證直線互相平行，并求線段的比值．著重考查了切割線定理、圓內接四邊形的性質、相似三角形的判定與性質等知識，屬于中檔題．