Question

7．已知f（x）=xlnx-ax，g（x）=-x²-2．
（Ⅰ）對(duì)一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+3]（m＞0）上的最值；
（Ⅲ）證明：對(duì)一切x∈（0，+∞），都有$lnx+1＞\frac{1}{{{{e}^{x+1}}}}-\frac{2}{{{{e}^2}x}}$成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對(duì)一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx-ax≥-x²-2恒成立，可化為a≤lnx+x+$\frac{2}{x}$在x∈（0，+∞）上恒成立．令F（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出；
（Ⅱ）把a(bǔ)=-1代入f（x），再求出f′（x），由f'（x）=0得$x=\frac{1}{{{{e}^2}}}$，然后分類討論，當(dāng)$0＜m＜\frac{1}{{{{e}^2}}}$時(shí)，在$x∈[m，\frac{1}{{e}^{2}}）$上f'（x）＜0，在$x∈（\frac{1}{{e}^{2}}，m+3]$上f'（x）＞0，因此f（x）在$x=\frac{1}{{{{e}^2}}}$處取得極小值，由于f（m）=m（lnm+1）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0，因此f（x）_max=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]，當(dāng)$m≥\frac{1}{e^2}$時(shí)，f'（x）≥0，因此f（x）在[m，m+3]上單調(diào)遞增，從而可求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+3]（m＞0）上的最值；
（Ⅲ）要證$lnx+1＞\frac{1}{{{{e}^{x+1}}}}-\frac{2}{{{{e}^2}x}}$成立，即證$xlnx+x＞\frac{x}{{{{e}^{x+1}}}}-\frac{2}{{{{e}^2}}}$，由（Ⅱ）知a=-1時(shí)，f（x）的最小值是$-\frac{1}{{{{e}^2}}}$，當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{1}{{{{e}^2}}}$時(shí)取等號(hào)．設(shè)$G（x）=\frac{x}{{e}^{x+1}}-\frac{2}{{e}^{2}}$，x∈（0，+∞），則$G'（x）=\frac{1-x}{{{{e}^{x+1}}}}$，易知$G{（x）_{max}}=G（1）=-\frac{1}{{{{e}^2}}}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取到，即可證得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：對(duì)一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx-ax≥-x²-2恒成立．
也就是$a≤lnx+x+\frac{2}{x}$在x∈（0，+∞）上恒成立．令$F（x）=lnx+x+\frac{2}{x}$，
則$F'（x）=\frac{1}{x}+1-\frac{2}{x^2}=\frac{{{x^2}+x-2}}{x^2}=\frac{（x+2）（x-1）}{x^2}$．x∈（0，1）時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0．
因此F（x）在x=1處取極小值，也是最小值，即F（x）_min=F（1）=3，
∴a≤3；
（Ⅱ）解：當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=xlnx+x，f′（x）=lnx+2，由f'（x）=0得$x=\frac{1}{{{{e}^2}}}$．
當(dāng)$0＜m＜\frac{1}{{{{e}^2}}}$時(shí)，在$x∈[m，\frac{1}{{e}^{2}}）$上f'（x）＜0，在$x∈（\frac{1}{{e}^{2}}，m+3]$上f'（x）＞0．
因此f（x）在$x=\frac{1}{{{{e}^2}}}$處取得極小值，也是最小值．故$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{e^2}）=-\frac{1}{{{{e}^2}}}$．
由于f（m）=m（lnm+1）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0，
因此f（x）_max=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]．
當(dāng)$m≥\frac{1}{e^2}$時(shí)，f'（x）≥0，因此f（x）在[m，m+3]上單調(diào)遞增，
故f（x）_min=f（m）=m（lnm+1），f（x）_max=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]；
（Ⅲ）證明：要證$lnx+1＞\frac{1}{{{{e}^{x+1}}}}-\frac{2}{{{{e}^2}x}}$成立，即證$xlnx+x＞\frac{x}{{{{e}^{x+1}}}}-\frac{2}{{{{e}^2}}}$，x∈（0，+∞）．
由（Ⅱ）知a=-1時(shí)，f（x）=xlnx+x的最小值是$-\frac{1}{{{{e}^2}}}$，當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{1}{{{{e}^2}}}$時(shí)取等號(hào)．
設(shè)$G（x）=\frac{x}{{e}^{x+1}}-\frac{2}{{e}^{2}}$，x∈（0，+∞），則$G'（x）=\frac{1-x}{{{{e}^{x+1}}}}$，易知$G{（x）_{max}}=G（1）=-\frac{1}{{{{e}^2}}}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取到．
從而可知對(duì)一切x∈（0，+∞），都有$lnx+1＞\frac{1}{{{{e}^{x+1}}}}-\frac{2}{{{{e}^2}x}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，是難題．