Question

根據(jù)下列條件，求數(shù)列的通項公式a_n．
（1）a₁=4，a_n+1=

n+2

n

a_n；
（2）a₁=-1，a_n+1=a_n+2n；
（3）a₁=1，a_n+1=2a_n+1．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用累積法進行求解；
（2）利用累加法進行求解；
（3）利用構(gòu)造法進行求解．

解答： 解：（1）∵a₁=4，a_n+1=

n+2

n

a_n，
∴

an+1

an

=

n+2

n

，
則

a2

a1

=

3

1

，

a3

a2

=

4

2

，…

an

an-1

=

n+1

n-1

，
兩式相乘得

an

a1

=

3

1

•

4

2

•

5

3

…

n+1

n-1

=

n(n+1)

1×2

=

n(n+1)

2

，
則a_n=

n(n+1)

2

×4=2n（n+1）．
（2）∵a₁=-1，a_n+1=a_n+2n；
∴a_n+1-a_n=2n；
則a₂-a₁=2，a₃-a₂=4，a₄-a₃=6，…a_n-a_n-1=2（n-1），
兩式相加得a_n-a₁=2+4+…+2（n-1）=

(2+2n-2)×(n-1)

2

=n（n-1），
則a_n=a₁+n（n-1）=n（n-1）+4；
（3）∵a₁=1，a_n+1=2a_n+1，
∴1+a_n+1=2（a_n+1）．
即數(shù)列{a_n+1}是首項為a₁+1=2，公比q=2的等比數(shù)列．
故a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
則a_n=2ⁿ-1．

點評：本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，根據(jù)數(shù)列遞推式的特點適當(dāng)選擇合適的方法是解決本題的關(guān)鍵．