Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，E為PA的中點(diǎn)，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求證：PC∥平面EBD；
（Ⅱ）求三棱錐P-EDC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC，BD相交于點(diǎn)O，連接OE．由三角形中位線定理可得OE∥CP，再由線面平行的判定可得PC∥平面BDE；
（Ⅱ）由E為PA的中點(diǎn)，可求△PCE的面積，證出DO是三棱錐D-PCE的高并求得DO=1，然后利用等積法求得三棱錐P-EDC的體積．

解答 （Ⅰ）證明：連接AC，BD，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連接OE．
由題意知，底面ABCD是菱形，則O為AC的中點(diǎn)，
又E為AP的中點(diǎn)，∴OE∥CP，
∵OE?平面BDE，PC?平面BDE，
∴PC∥平面BDE；
（Ⅱ）解：∵E為PA的中點(diǎn)，
∴${S_{△PCE}}=\frac{1}{2}{S_{△PAC}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=\sqrt{3}$，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，
又PA∩AC=A，∴DO⊥平面PAC，
即DO是三棱錐D-PCE的高，DO=1，
則${V_{P-CDE}}={V_{D-PCE}}=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．