Question

如圖，已知海島A到海岸公路BC的距離AB=50km，B，C間的距離為100km，從A到C必須先坐船到BC上的某一點D，航速為25km/h，再乘汽車到C，車速為50km/h，記∠BDA=θ
（1）試將由A到C所用的時間t表示為θ的函數(shù)t（θ）；
（2）問θ為多少時，由A到C所用的時間t最少？

Answer 1

考點：解三角形的實際應用

專題：應用題,解三角形

分析：（1）用θ表示出AD與BD，從而可以表示出DC，由路程除以速度得時間，建立起時間關(guān)于θ函數(shù)即可；
（2）對函數(shù)求導，研究出函數(shù)的單調(diào)性確定出θ=

π

3

時，由A到C所用的時間t最少．

解答： 解：（1）在Rt△ABD中，AB=50km，∴BD=50cotθ，AD=

50

sinθ

，∴DC=100-BD=100-50cotθ．
∴t（θ）=

2

sinθ

+2-cotθ=

2-cosθ

sinθ

+2（θ∈[arctan

1

2

，

π

2

））；
（2）t′（θ）=

1-2cosθ

sin2θ

，
∴θ∈[0，

π

3

）時，t′（θ）＜0；θ∈（

π

3

，

π

2

），t′（θ）＞0
∴當θ=

π

3

時，由A到C所用的時間t最少．

點評：本題考查在實際問題中建立三角函數(shù)模型，應用三角函數(shù)模型求解用時最少的問題，求解本題的關(guān)鍵是對問題進行細致分析得出符合條件的函數(shù)模型．