Question

如圖，已知海島A到海岸公路BC的距離AB=50km，B，C間的距離為100km，從A到C必須先坐船到BC上的某一點(diǎn)D，航速為25km/h，再乘汽車到C，車速為50km/h，記∠BDA=θ
（1）試將由A到C所用的時(shí)間t表示為θ的函數(shù)t（θ）；
（2）問(wèn)θ為多少時(shí)，由A到C所用的時(shí)間t最少？

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（1）用θ表示出AD與BD，從而可以表示出DC，由路程除以速度得時(shí)間，建立起時(shí)間關(guān)于θ函數(shù)即可；
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，研究出函數(shù)的單調(diào)性確定出θ=

π

3

時(shí)，由A到C所用的時(shí)間t最少．

解答： 解：（1）在Rt△ABD中，AB=50km，∴BD=50cotθ，AD=

50

sinθ

，∴DC=100-BD=100-50cotθ．
∴t（θ）=

2

sinθ

+2-cotθ=

2-cosθ

sinθ

+2（θ∈[arctan

1

2

，

π

2

））；
（2）t′（θ）=

1-2cosθ

sin2θ

，
∴θ∈[0，

π

3

）時(shí)，t′（θ）＜0；θ∈（

π

3

，

π

2

），t′（θ）＞0
∴當(dāng)θ=

π

3

時(shí)，由A到C所用的時(shí)間t最少．

點(diǎn)評(píng)：本題考查在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型，應(yīng)用三角函數(shù)模型求解用時(shí)最少的問(wèn)題，求解本題的關(guān)鍵是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行細(xì)致分析得出符合條件的函數(shù)模型．