【題目】已知圓F1:(x+1)2+y2=16,定點(diǎn)F2(1,0),A是圓F1上的一動(dòng)點(diǎn),線段F2A的垂直平分線交半徑F1A于P點(diǎn). (Ⅰ)求P點(diǎn)的軌跡C的方程;
(Ⅱ)四邊形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)都在曲線C上,且對角線EG,F(xiàn)H過原點(diǎn)O,若kEGkFH=﹣ ,求證:四邊形EFGH的面積為定值,并求出此定值.
【答案】(Ⅰ)解:因?yàn)镻在線段F2A的中垂線上,所以|PF2|=|PA|. 所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|AF1|=4>|F1F2|,
所以軌跡C是以F1 , F2為焦點(diǎn)的橢圓,且c=1,a=2,所以 ,
故軌跡C的方程 .
(Ⅱ)證明:不妨設(shè)點(diǎn)E、H位于x軸的上方,
則直線EH的斜率存在,設(shè)EH的方程為y=kx+m,E(x1 , y1),H(x2 , y2).
聯(lián)立 ,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,
則 .①
由 ,
得 .②
由①、②,得2m2﹣4k2﹣3=0.③
設(shè)原點(diǎn)到直線EH的距離為 , , ④
由③、④,得 ,故四邊形EFGH的面積為定值,且定值為 .
【解析】(Ⅰ)利用橢圓的定義,即可求P點(diǎn)的軌跡C的方程;(Ⅱ)不妨設(shè)點(diǎn)E、H位于x軸的上方,則直線EH的斜率存在,設(shè)EH的方程為y=kx+m,與橢圓方程聯(lián)立,求出面積,即可證明結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A是拋物線y2=4x上的一點(diǎn),以點(diǎn)A和點(diǎn)B(2,0)為直徑的圓C交直線x=1于M,N兩點(diǎn).直線l與AB平行,且直線l交拋物線于P,Q兩點(diǎn). (Ⅰ)求線段MN的長;
(Ⅱ)若 =﹣3,且直線PQ與圓C相交所得弦長與|MN|相等,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的方程是y=8,圓C的參數(shù)方程是 (φ為參數(shù)).以O(shè)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求直線l和圓C的極坐標(biāo)方程;
(2)射線OM:θ=α(其中 )與圓C交于O、P兩點(diǎn),與直線l交于點(diǎn)M,射線ON: 與圓C交于O、Q兩點(diǎn),與直線l交于點(diǎn)N,求 的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某重點(diǎn)中學(xué)為了解高一年級學(xué)生身體發(fā)育情況,對全校700名高一年級學(xué)生按性別進(jìn)行分層抽樣檢查,測得身高(單位:cm)頻數(shù)分布表如表1、表2. 表1:男生身高頻數(shù)分布表
身高(cm) | [160,165) | [165,170) | [170,175) | [175,180) | [180,185) | [185,190) |
頻數(shù) | 2 | 5 | 14 | 13 | 4 | 2 |
表2:女生身高頻數(shù)分布表
身高(cm) | [150,155) | [155,160) | [160,165) | [165,170) | [170,175) | [175,180) |
頻數(shù) | 1 | 7 | 12 | 6 | 3 | 1 |
(1)求該校高一女生的人數(shù);
(2)估計(jì)該校學(xué)生身高在[165,180)的概率;
(3)以樣本頻率為概率,現(xiàn)從高一年級的男生和女生中分別選出1人,設(shè)X表示身高在[165,180)學(xué)生的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),則f(x)=sin(2x+ )+cos(2x+ ),則( )
A.y=f(x)在(0, )單調(diào)遞增,其圖象關(guān)于直線x= 對稱
B.y=f(x)在(0, )單調(diào)遞增,其圖象關(guān)于直線x= 對稱
C.y=f(x)在(0, )單調(diào)遞減,其圖象關(guān)于直線x= 對稱
D.y=f(x)在(0, )單調(diào)遞減,其圖象關(guān)于直線x= 對稱
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知△ABC的面積為accosB,BC的中點(diǎn)為D. (Ⅰ) 求cosB的值;
(Ⅱ) 若c=2,asinA=5csinC,求AD的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的表面積為( )
A.24+8 +8
B.20+8 +4 ??
C.20+8 +4
D.20+4 +4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)= 是奇函數(shù).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)關(guān)于x的不等式2m﹣1>f(x)有解,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù) ( ).
(1)若 ,求不等式 的解集;
(2)若對于任意的 , ,都有 恒成立,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
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