Question

【題目】已知f（x）= 是奇函數(shù)．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）關(guān)于x的不等式2m﹣1＞f（x）有解，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ 是奇函數(shù)，∴f（x）+f（﹣x）=0恒成立

∴（a+b）x2+a=0恒成立，∴a=0，b=0

∴ ，

由f'（x）＞0，得﹣1＜x＜1；由f'（x）＜0，得x＞1或x＜﹣1故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（﹣1，1），f（x）的減區(qū)間為（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）.

（2）

解：∵2m﹣1＞f（x）有解，∴2m﹣1＞f（x）min即可

當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0；當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0；當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0

由（I）知f（x）在（﹣∞，﹣1）上為減函數(shù)，在（﹣1，0）上為增函數(shù)

∴f（x）min=f（﹣1）=﹣1

∴2m﹣1＞﹣1，∴m＞0

【解析】（1）利用函數(shù)是奇函數(shù)，得到f（x）+f（﹣x）=0恒成立，推出a=0，b=0，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由f'（x）＞0，由f'（x）＜0，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）利用2m﹣1＞f（x）有解，推出2m﹣1＞f（x）min即可，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，求解即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．