【題目】平面直角坐標系中,在x軸的上方作半徑為1的圓Γ,與x軸相切于坐標原點O.平行于x軸的直線l1y軸交點的縱坐標為-1,Ax,y)是圓Γ外一動點,A與圓Γ上的點的最小距離比Al1的距離小1.

(Ⅰ)求動點A的軌跡方程;

(Ⅱ)設l2是圓Γ平行于x軸的切線,試探究在y軸上是否存在一定點B,使得以AB為直徑的圓截直線l2所得的弦長不變.

【答案】(I);(II)存在滿足題意.

【解析】

(Ⅰ)由題意,圓Γ上距距離最小的點在上,于是依題意知的長度等于的距離,即可求解;

(Ⅱ)假設存在這樣的點,設其坐標為,以為直徑的圓的圓心為,過的垂線,垂足為,則點坐標為,于是,,根據(jù)弦長公式建立關系,待定系數(shù)法,即可求解的值,可得其坐標

解:(Ⅰ)設圓Γ的圓心為O1,顯然圓Γ上距A距離最小的點在AO1上,

于是依題意知AO1的長度等于Al1的距離.顯然A不能在l1的下方,

若不然Al1的距離小于AO1的長度,

故有,

y=x2x≠0).

(Ⅱ)若存在這樣的點B,設其坐標為(0,t),

AB為直徑的圓的圓心為C,過Cl2的垂線,垂足為D

C點坐標為(),于是CD=,

AB=

設所截弦長為l,

=CD2=

于是l2=(12-4ty+8t-16,

弦長不變即l不隨y的變化而變化,

故12-4t=0,即t=3.

即存在點B(0,3),滿足以AB為直徑的圓截直線l2所得的弦長不變.

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