Question

10．直線x+2y=m（m＞0）與⊙O：x²+y²=5交于A，B兩點(diǎn)，若$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|＞2|{\overrightarrow{AB}}|$，則m的取值范圍為（2$\sqrt{5}$，5）．

Answer 1

分析 根據(jù)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)可推斷出圓心到直線的距離小于或等于半徑，根據(jù)$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|＞2|{\overrightarrow{AB}}|$，利用平行四邊形法則推斷出∠AOB范圍，通過(guò)夾角為直角時(shí)求得原點(diǎn)到直線的距離，可得d范圍，求得m的范圍．

解答 解：∵直線x+2y+m=0與圓x²+y²=5交于相異兩點(diǎn)A、B，
∴O點(diǎn)到直線x+2y+m=0的距離d＜$\sqrt{5}$，
又∵|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|＞2|$\overrightarrow{AB}$|，由OADB是菱形，并且OC＞2AC，
可知，OC＞2．
圓的圓心到直線的距離d＞2，
可得：$\sqrt{5}$＞$\frac{m}{\sqrt{5}}$＞2，m＞0，解得m∈（2$\sqrt{5}$，5）．
故答案為：（2$\sqrt{5}$，5）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓相交的性質(zhì)，向量的幾何意義等．考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．