Question

4．設函數(shù)f（x）=x²+ax-blnx，
（1）若y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=2x，求a，b的值．
（2）若b=1，令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，若函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，由f（1）=2，f′（1）=2，從而求出a，b的值；
（2）解法一：先求出函數(shù)g（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調性，從而求出a的范圍；
解法二：先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，分離出a，構造新函數(shù)，通過討論新函數(shù)的單調性，求出新函數(shù)的最小值，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）f（x）=x²+ax-blnx，定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=2x+a-$\frac{x}$；∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1+a=2}\\{f′（1）=2+a-b=2}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=1；
（2）解法一：據(jù)題知：g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
所以 g（x）=$\frac{{x}^{2}+ax-lnx}{{e}^{x}}$，定義域為（0，1]，
∴g′（x）=$\frac{{-x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}+lnx}{{e}^{x}}$；
令h（x）=-x²+（2-a）x+a-$\frac{1}{x}$+lnx，
則h′（x）=-2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+2-a，
h′（x）=-2-$\frac{2}{{x}^{3}}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，
故h′（x）在區(qū)間（0，1]上單調遞減，
從而對（0，1]，h′（x）≥h′（1）=2-a
①當2-a≥0，即a≤2時，h′（x）≥0，∴y=h（x）在區(qū)間（0，1]上單調遞增，
∴h（x）≤h（1）=0，即F′（x）≤0，
∴g（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，
故a≤2滿足題意；           
②當2-a＜0，即a＞2時，
由h′（1）＜0，h′（$\frac{1}{a}$）=-$\frac{2}{a}$+a²+2＞0，0＜$\frac{1}{a}$＜1，
且y=h′（x）在區(qū)間（0，1]的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，
∴y=h′（x）在區(qū)間（0，1]有唯一零點，設為x₀，
∴h（x）在區(qū)間（0，x₀）上單調遞增，在（x₀，1]上單調遞減，
且y=h（x）在區(qū)間（0，1]的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線
y=h（x）在區(qū)間（0，1）有唯一零點，設為x′，
即y=g′（x）在區(qū)間（0，1）有唯一零點，設為x′，
故y=g（x）在區(qū)間（0，x′）上單調遞減，在（x′，1）上單調遞增，
與題中條件在（0，1]為減函數(shù)矛盾，故a＞2不合題意，舍去；
綜上可知：a的取值范圍為（-∞，2]． 
解法二：g（x）=$\frac{{x}^{2}+ax-lnx}{{e}^{x}}$，定義域為（0，1]，
∴g′（x）=$\frac{{-x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}+lnx}{{e}^{x}}$；
則不等式（1-x）a≤x²-2x+$\frac{1}{x}$-lnx對（0，1]的任意x都成立；
①當x=1時；對?a∈R不等式都成立；
②當x∈（0，1）時：
a≤$\frac{{x}^{2}-2x+\frac{1}{x}-lnx}{1-x}$=-x+1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{1-x}$成立；
令m（x）=-x+1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{1-x}$；
則m′（x）=-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{\frac{1}{x}+lnx-1}{{（1-x）}^{2}}$，
令：n（x）=$\frac{1}{x}$+lnx-1；n′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$＜0，
故n（x）在（0，1）上為減函數(shù)，由于n（1）=0，
故n（x）＞0
則m′（x）＜0恒成立，則m（x）在（0，1）上為減函數(shù)；
故a≤m（1），
據(jù)“洛必塔法則”：m（1）=$\underset{lim}{x→1}m（x）$=$\underset{lim}{x→1}（-x+1+\frac{1}{x}-\frac{lnx}{1-x}）=2$，
綜上所述，a的取值范圍為（-∞，2]．

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用，求參數(shù)的范圍，是一道綜合題．