Question

17．已知f（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$在x∈[0，+∞）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在x∈（0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的定義域，即可判斷f（x）的奇偶性；
（2）根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的0＜x₁＜x₂，然后作差，通分，證明f（x₁）＜f（x₂）即可得出f（x）在x∈（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．

解答 解：（1）∵x∈[0，+∞），
∴f（x）非奇非偶；
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，則：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{e}^{{x}_{1}}+{e}^{-{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}-{e}^{-{x}_{2}}}{2}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}}{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$•（${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$-1）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在x∈（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．

點(diǎn)評 考查增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義判斷并證明一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后，是分式的一般要通分．