Question

9．$\root{5}{5}$，$\root{3}{3}$，$\sqrt{2}$的大小關系是$\root{3}{3}$＞$\sqrt{2}$＞$\root{5}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)根式和指數(shù)冪的關系轉化為同指數(shù)的冪函數(shù)，利用冪函數(shù)的單調性進行比較即可．

解答 解：$\root{5}{5}$=$\root{15}{{5}^{3}}$=125${\;}^{\frac{1}{15}}$，$\root{3}{3}$=$\root{15}{{3}^{5}}$=243${\;}^{\frac{1}{15}}$，
則125${\;}^{\frac{1}{15}}$＜243${\;}^{\frac{1}{15}}$，
即$\root{5}{5}$＜$\root{3}{3}$，
$\root{3}{3}$=$\root{6}{9}$=9${\;}^{\frac{1}{6}}$，$\sqrt{2}$=$\root{6}{8}$=8${\;}^{\frac{1}{6}}$，
則9${\;}^{\frac{1}{6}}$＞8${\;}^{\frac{1}{6}}$，
即$\root{3}{3}$＞$\sqrt{2}$，
則$\root{5}{5}$＞$\root{3}{3}$＞$\sqrt{2}$，
$\root{5}{5}$=$\root{10}{25}$，$\sqrt{2}$=$\root{10}{32}$，
則$\root{10}{32}$＞$\root{10}{25}$，即$\sqrt{2}$＞$\root{5}{5}$，
綜上$\root{3}{3}$＞$\sqrt{2}$＞$\root{5}{5}$，
故答案為：$\root{3}{3}$＞$\sqrt{2}$＞$\root{5}{5}$

點評 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)條件轉化為冪函數(shù)形式，利用冪函數(shù)的單調性進行比較是解決本題的關鍵．