Question

已知cos（

π

4

-α）=

3

5

，α∈（

π

2

，π），求cos2α的值．

Answer 1

解法一：∵α∈(

π

2

，π)，
∴

π

4

-α∈(-

3π

4

，-

π

4

)
∵cos(

π

4

-α)=

3

5

，
∴sin(

π

4

-α)=-

4

5

（2分）
∴cos2α=cos[

π

2

-2(

π

4

-α)]=sin[2(

π

4

-α)]（2分）
=2sin(

π

4

-α)cos(

π

4

-α)（2分）
=2×(-

4

5

)×

3

5

=-

24

25

（2分）
解法二：∵cos(

π

4

-α)=

2

2

(sinα+cosα)=

3

5

（2分）
∴sinα+cosα=

3 2

5

∴sin2α=2sinαcosα=-

7

25

＜0
∴α∈(

π

2

，π)，∴cosα-sinα=-

1-2sinαcosα

=-

4 2

5

（2分）
∴cos2α=cos²α-sin²α=（cosα-sinα）•（cosα+sinα）（2分）
=(-

4 2

5

)×

3 2

5

=-

24

25

（2分）
解法三：：∵α∈(

π

2

，π)，
∴

π

4

-α∈(-

3π

4

，-

π

4

)
∵cos(

π

4

-α)=

3

5

，
∴sin(

π

4

-α)=-

4

5

 （2分）
sinα=sin[

π

4

-(

π

4

-α)]=

2

2

[cos(

π

4

-α)-sin(

π

4

-α)]=

7 2

10

（2分）
cos2α=1-2sin²α=1-

49

25

=-

24

25

（2分）