Question

19．已知A、B兩個(gè)盒子中都放有4個(gè)大小相同的小球，其中A盒子中放有1個(gè)紅球，3個(gè)黑球；B盒子中放有2個(gè)紅球，2個(gè)黑球．
（1）若甲從A盒子中任取一球、乙從B盒子中任取一球，求甲、乙兩人所取球的顏色不同的概率；
（2）若甲每次從A盒子中任取兩球，記下顏色后放回，抽取兩次；乙每次從B盒子中任取兩球，記下顏色后放回，抽取兩次．在四次取球的結(jié)果中，記兩球顏色相同的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)事件A為“甲、乙兩人所取球的顏色不同”，由此利用對立事件能求出甲、乙兩人所取球的顏色不同的概率．
（2）依題意X的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)事件A為“甲、乙兩人所取球的顏色不同”，
則P（A）=1-$\frac{1×2+3×2}{4×4}$=$\frac{1}{2}$．
（2）依題意X的可能取值為0，1，2，3，4，
甲每次所取的兩球顏色相同的概率為$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
乙每次所取的兩球顏色相同的概率為$\frac{{C}_{2}^{2}+{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}=\frac{1}{3}$，
P（X=0）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{36}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$+${C}_{2}^{1}（\frac{2}{3}）×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{12}{36}$，
P（X=2）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$+${C}_{2}^{1}×$$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{C}_{2}^{1}×\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{13}{36}$，
P（X=3）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{C}_{2}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×{C}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{6}{36}$，
P（X=4）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{36}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{4}{36}$	$\frac{12}{36}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{1}{36}$

EX=$0×\frac{4}{36}+1×\frac{12}{36}+2×\frac{13}{36}+3×\frac{6}{36}+4×\frac{1}{36}$=$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．