Question

15．函數(shù) f（x）=e^x+a，g（x）=|ln（-x）|，若x₁，x₂都滿足f（x）=g（x），則（　　）

• A． x₁•x₂＞e
• B． 1＜x₁•x₂＜e
• C． 0＜x₁x₂＜$\frac{1}{e}$
• D． $\frac{1}{e}＜{x_1}{x_2}$＜1

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得出函數(shù)f（x）與g（x）在定義域（-∞，0）上有兩個交點（x₁，0）和（x₂，0）；
畫出圖形，結(jié)合圖形得出0＞x₁＞-1＞x₂，列出方程組$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{1}}+a=-ln（{-x}_{1}）}\\{{e}^{{x}_{2}}+a=ln（{-x}_{2}）}\end{array}\right.$，
從而得出ln（x₁x₂）=${e}^{{x}_{2}}$-${e}^{{x}_{1}}$；求出${e}^{{x}_{2}}$-${e}^{{x}_{1}}$的取值范圍，即得x₁x₂的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=e^x+a，g（x）=|ln（-x）|=$\left\{\begin{array}{l}{ln（-x），x≤-1}\\{-ln（-x），-1＜x＜0}\end{array}\right.$，
且x₁，x₂都滿足f（x）=g（x），
∴函數(shù)f（x）與g（x）在定義域（-∞，0）上有兩個交點（x₁，0）和（x₂，0）；如圖所示，

不妨設(shè)0＞x₁＞-1＞x₂，
則$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{1}}+a=-ln（{-x}_{1}）}\\{{e}^{{x}_{2}}+a=ln（{-x}_{2}）}\end{array}\right.$，
∴${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$=-ln（-x₁）-ln（-x₂）=-ln（x₁x₂），
即ln（x₁x₂）=${e}^{{x}_{2}}$-${e}^{{x}_{1}}$；
∵0＞x₁＞-1＞x₂，
∴-1＜${e}^{{x}_{2}}$-${e}^{{x}_{1}}$＜0，
即-1＜ln（x₁x₂）＜0，
∴$\frac{1}{e}$＜x₁x₂＜1．
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想，轉(zhuǎn)化思想，是綜合性題目．