Question

10．已知向量$\overrightarrow{p}$=（sin（x-$\frac{π}{6}$），cosx），$\overrightarrow{q}$=（cosx，cosx），若函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$-$\frac{1}{4}$．
（1）求x$∈[-\frac{5π}{24}，\frac{7π}{24}]$時(shí)，函數(shù)f（x）的值域；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對邊，若f（A）=$\frac{1}{4}$，且a=2，求BC邊上中線的最大值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和三角恒等變換，化簡f（x）可得$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到值域；
（2）運(yùn)用正弦函數(shù)的特殊值，可得A，再由余弦定理和中線長定理，結(jié)合基本不等式可得最大值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$-$\frac{1}{4}$=sin（x-$\frac{π}{6}$）cosx+cos²x-$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{2}$（sin（2x-$\frac{π}{6}$）+sin（-$\frac{π}{6}$））+$\frac{1}{2}$（1+cos2x）-$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）+$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
當(dāng)x$∈[-\frac{5π}{24}，\frac{7π}{24}]$時(shí)，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$時(shí)，sin（2x+$\frac{π}{6}$）=1，f（x）取得最大值$\frac{1}{2}$；
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{4}$，即x=-$\frac{5π}{24}$時(shí)，sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，f（x）取得最小值-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
則有函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{1}{2}$]；
（2）f（A）=$\frac{1}{4}$，即為$\frac{1}{2}$sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，A為三角形的內(nèi)角，
即有2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-bc=4，
由中線長定理可得，BC邊上中線AD為$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（^{2}+{c}^{2}）-{a}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（bc+4）-4}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2bc+4}$，
由b²+c²-bc=4≥2bc-bc，可得bc≤4，
即有BC邊上中線AD≤$\frac{1}{2}$$\sqrt{8+4}$=$\sqrt{3}$．
即有當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，最大值為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和三角函數(shù)的化簡和求值，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，考查余弦定理和基本不等式的運(yùn)用：求最值，屬于中檔題．