Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－1，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，實(shí)數(shù)a是常數(shù)．

(1)設(shè)a＝e，求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）答案見(jiàn)解析．

【解析】

（1）求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，可寫(xiě)出對(duì)應(yīng)切線方程

(2) 對(duì)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)分類(lèi)，討論單調(diào)性。

(1)∵a＝e，∴f(x)＝ex－ex－1，

∴f′(x)＝ex－e，f(1)＝－1，f′(1)＝0.

∴當(dāng)a＝e時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝－1.

(2)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＞0，故f(x)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)a＞0時(shí)，由f′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a，

∴當(dāng)x＜ln a時(shí)，f′(x)＜ =0，當(dāng)x＞ln a時(shí)，f′(x)＞ =0，

∴f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)a＞0時(shí)，∴f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增．