Question

9．設(shè)l₁，l₂，l₃為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為4，5，6的直線(xiàn)．給出下列三個(gè)結(jié)論：
①存在A_i∈l_i（i=1，2，3），使得△A₁A₂A₃是直角三角形；
②存在A_i∈l_i（i=1，2，3），使得△A₁A₂A₃是等邊三角形；
③三條直線(xiàn)上存在四點(diǎn)A_i（i=1，2，3，4），使得四面體A₁A₂A₃A₄為在一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩互相垂直的四面體．其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 本題利用畫(huà)圖結(jié)合運(yùn)動(dòng)變化的思想進(jìn)行分析．我們不妨先將 A、B、C 按如圖所示放置，容易看出此時(shí) BC＜AB=AC．
現(xiàn)在，我們將 A 和 B 往上移，并且總保持 AB=AC（這是可以做到的，只要 A、B 的速度滿(mǎn)足一定關(guān)系），而當(dāng)A、B 移得很高很高時(shí)，就得到①和②都是正確的．至于③，結(jié)合條件利用反證法的思想方法進(jìn)行說(shuō)明即可

解答 解：我們不妨先將 A、B、C按如圖所示放置．
容易看出此時(shí) BC＜AB=AC．
現(xiàn)在，我們將 A 和 B 往上移，
并且總保持AB=AC（這是可以做到的，
只要 A、B 的速度滿(mǎn)足一定關(guān)系），
而當(dāng)A、B 移得很高很高時(shí)，
不難想象△ABC 將會(huì)變得很扁，
也就是會(huì)變成頂角A“非常鈍”的一個(gè)等腰鈍角三角形．
于是，在移動(dòng)過(guò)程中，
總有一刻，使△ABC 成為等邊三角形，
亦總有另一刻，使△ABC成為直角三角形（而且還是等腰的）．
這樣，就得到①和②都是正確的．
至于③，如圖所示．
為方便書(shū)寫(xiě)，稱(chēng)三條兩兩垂直的棱所共的頂點(diǎn)為?．
假設(shè)A是?，
那么由 AD⊥AB，AD⊥AC，
知 L₃⊥△ABC，
從而△ABC 三邊的長(zhǎng)就是三條直線(xiàn)的距離4、5、6，
這就與AB⊥AC 矛盾．
同理可知D是?時(shí)也矛盾；
假設(shè)C是?，
那么由BC⊥CA，BC⊥CD，
知BC⊥△CAD，
而 l₁∥△CAD，故 BC⊥l₁，
從而 BC 為 l₁與 l₂ 的距離，
于是 EF∥BC，EF=BC，這樣就得到 EF⊥FG，矛盾．
同理可知 B 是?時(shí)也矛盾．
綜上，不存在四點(diǎn)A_i（i=1，2，3，4），
使得四面體A₁A₂A₃A₄為在一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩互相垂直的四面體．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．