Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，且滿足2a_n-1=S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_n-（-1）ⁿ，記T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

，求證：T_n＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得2a₁-1=S₁=a₁，當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n-1-1=S_n-1，從而得到{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由此能求出a_n=2^n-1．
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由

1

bn-1

+

1

bn

=

1

2n-2+1

+

1

2n-1-1

＜(

1

2

)n-2+(

1

2

)n-1，利用等比數(shù)列求和公式能證明T_n＜2．當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

+

1

bn+1

＜2．由此能證明T_n＜2．

解答： （1）解：∵2a_n-1=S_n，①
∴當(dāng)n=1時(shí)，2a₁-1=S₁=a₁，解得a₁=1，（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n-1-1=S_n-1，②（2分）
①②兩式相減得：2a_n-2a_n-1=a_n，
即a_n=2a_n-1，（5分）
∴{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1．（6分）
（2）證明：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

1

bn-1

+

1

bn

=

1

2n-2+1

+

1

2n-1-1

=

2n-2+2n-1

22n-3+2n-1-2n-2-1

（7分）
＜

2n-2+2n-1

22n-3

=(

1

2

)n-2+(

1

2

)n-1，（10分）
∴T_n＜(

1

2

)0+(

1

2

)+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1=2（1-

1

2n

）＜2．（11分）
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

+

1

bn+1

＜2．
綜上可知T_n＜2．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和分類討論思想的合理運(yùn)用．