Question

15．如圖，有一段長為18米的屏風ABCD（其中AB=BC=CD=6米），靠墻l圍成一個四邊形，設∠DAB=α．

（1）當α=60°，且BC⊥CD時，求AD的長；
（2）當BC∥l，且AD＞BC時，求所圍成的等腰梯形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）連接BD，作BO⊥AD，垂足為O，利用三角函數(shù)，結合勾股定理，求AD的長；
（2）由題意，梯形的高為6sinα，AD=6+12cosα，所圍成的等腰梯形ABCD面積S=$\frac{6+6+12cosα}{2}×6sinα$=36sinα（1+cosα），利用導數(shù)確定單調性，即可求出所圍成的等腰梯形ABCD面積的最大值．

解答 解：（1）連接BD，作BO⊥AD，垂足為O，則AO=3，BO=3$\sqrt{3}$，BD=6$\sqrt{2}$，
∴OD=$\sqrt{27+72}$=3$\sqrt{11}$，
∴AD=AO+OD=3+3$\sqrt{11}$；
（2）由題意，梯形的高為6sinα，AD=6+12cosα，
∴所圍成的等腰梯形ABCD面積S=$\frac{6+6+12cosα}{2}×6sinα$=36sinα（1+cosα），
S′=36（2cosα-1）（cosα+1），
∴0＜α＜$\frac{π}{3}$，S′＞0，$\frac{π}{3}$，＜α＜π，S′＜0，
∴α=$\frac{π}{3}$，S取得最大值27$\sqrt{3}$．

點評 本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查導數(shù)知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．