Question

3．設(shè)集合A={x|x²+2x-3＞0}，B={x|x²-2ax-1≤0，a＞0}，若A∩B中恰有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{3}{4}$）
• B． [$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$）
• C． $[\frac{3}{4}，+∞）$
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 先化簡A，B，求集合A∩B，利用A∩B中恰含有一個(gè)整數(shù)，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由A中不等式變形得：（x-1）（x+3）＞0，
解得：x＜-3或x＞1，即A={x|x＜-3或x＞1}，
函數(shù)y=f（x）=x²-2ax-1的對(duì)稱軸為x=a＞0，f（-3）=6a+8＞0，
如圖示：

由對(duì)稱性可得，要使A∩B恰有一個(gè)整數(shù)，
即這個(gè)整數(shù)解為2，
∴f（2）≤0且f（3）＞0，
即 $\left\{\begin{array}{l}{4-4a-1≤0}\\{9-6a-1＞0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{3}{4}}\\{a＜\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
即$\frac{3}{4}$≤a＜$\frac{4}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查集合關(guān)系的應(yīng)用，利用不等式和函數(shù)之間的關(guān)系，將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)根的分布確定函數(shù)滿足的條件是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．