Question

7．用min{m，n}表示m，n中的最小值．已知函數(shù)f（x）=x³+ax+$\frac{1}{4}$，g（x）=-lnx，設(shè)函數(shù)h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），若h（x）有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$-\frac{5}{4}$，$-\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 由已知可得a＜0，進(jìn)而可得若h（x）有3個(gè)零點(diǎn)，則$\sqrt{-\frac{a}{3}}$＜1，f（1）＞0，f（$\sqrt{-\frac{a}{3}}$）＜0，解得答案．

解答 解：∵f（x）=x³+ax+$\frac{1}{4}$，
∴f′（x）=3x²+a，
若a≥0，則f′（x）≥0恒成立，函數(shù)f（x）=x³+ax+$\frac{1}{4}$至多有一個(gè)零點(diǎn)，
此時(shí)h（x）不可能有3個(gè)零點(diǎn)，故a＜0，
令f′（x）=0，則x=±$\sqrt{-\frac{a}{3}}$，
∵g（1）=0，
∴若h（x）有3個(gè)零點(diǎn)，則$\sqrt{-\frac{a}{3}}$＜1，f（1）＞0，f（$\sqrt{-\frac{a}{3}}$）＜0，
即$\left\{\begin{array}{l}-3＜a＜0\\ \frac{5}{4}+a＞0\\ \frac{2a}{3}\sqrt{-\frac{a}{3}}+\frac{1}{4}＜0\end{array}\right.$，
解得：a∈（$-\frac{5}{4}$，$-\frac{3}{4}$），
故答案為：（$-\frac{5}{4}$，$-\frac{3}{4}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，分類討論思想，函數(shù)和方程的思想，轉(zhuǎn)化思想，難度中檔．