Question

（1）方程2x³-6x²+3=0有幾個解？如果有解，全部解的和為多少？
（2）探究方程2x³-6x²+5=0，2x³-6x²+8=0的全部解的和，你由此可以得出什么結(jié)論？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,推理和證明

分析：（1）設(shè)函數(shù)f（x）=2x³-6x²+3，利用二分法求方程2x³-6x²+3=0的解的個數(shù)及近似解，從而確定和；
（2）利用二分法再求方程2x³-6x²+5=0，2x³-6x²+8=0的全部解的和，從而由歸納推理得到結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)函數(shù)f（x）=2x³-6x²+3，
∵f（-1）=-5＜0，f（0）=3＞0，f（1）=-1＜0，f（2）=-5＜0，f（3）=3＞0；
又∵函數(shù)f（x）=2x³-6x²+3的圖象是連續(xù)的曲線；
∴方程2x³-6x²+3=0有三個實(shí)數(shù)解．
∵f（-1）•f（0）＜0，
∴在區(qū)間（-1，0）內(nèi)有一個解． 取區(qū)間（-1，0）的中點(diǎn)x₁=-0.5，
用計(jì)算器可算得f（-0.5）=1.25＞0．
∵f（-1）•f（-0.5）＜0，
∴x₀∈（-1，-0.5）．
依次可得
x₀∈（-0.75，-0.5），x₀∈（-0.75，-0.625），x₀∈（-0.687 5，-0.625），x₀∈（-0.656 25，-0.625），
x₀∈（-0.656 25，-0.640 625），x₀∈（-0.648 437 5，-0.640 625），x₀∈（-0.644 531 25，-0.640 625）．
由于|（-0.640 625）-（-0.644 531 25）|＜0.01，
此時區(qū)間（-0.644 531 25，-0.640 625）的兩個端點(diǎn)精確到0.01的近似值都是-0.64，
所以方程2x³-6x²+3=0在區(qū)間（-1，0）且精確到0.01的近似解約為-0.64．
同理可求得方程2x³-6x²+3=0在區(qū)間（0，1）和（2，3）內(nèi)且精確到0.01的近似解分別為 0.83，2.81．
所以，方程2x³-6x²+3=0的三個解的和為-0.64+0.83+2.81=3．
（2）利用同樣的方法可求得方程2x³-6x²+5=0和2x³-6x²+8=0的所有解的和也為3．
故由此可歸納出結(jié)論：
一般地，對于一元三次方程ax³+bx²+d=0有三個根x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂+x₃=-

b

a

．

點(diǎn)評：本題考查了二分法的應(yīng)用及歸納推理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．