Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）滿足下列條件：
①當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）的最小值為0，且f（x-1）=f（-x-1）成立
②當(dāng)x∈（0，5）時(shí)，x≤f（x）≤2|x-1|+1 恒成立
（1）求f（1）的．
（2）求f（x）的解析式
（3）求最大的實(shí)數(shù)m（m＞1），使得存在實(shí)數(shù)t，只要當(dāng)x∈[1，m]時(shí)，就有f（x+t）≤x．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=1可得1≤f（1）≤2|1-1|+1；從而解得；
（2）結(jié)合當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）的最小值為0，且f（x-1）=f（-x-1）成立及二次函數(shù)的性質(zhì)可求出二次函數(shù)的解析式；
（3）由二次函數(shù)的性質(zhì)知，設(shè)g（x）=x²+（2t-2）x+t²+2t+1，則恒成立問(wèn)題可化為g（1）=t²+4t≤0，g（m）=m²+（2t-2）m+t²+2t+1≤0；從而解得．

解答： 解：（1）∵當(dāng)x∈（0，5）時(shí)，x≤f（x）≤2|x-1|+1 恒成立，
∴當(dāng)x=1時(shí)，1≤f（1）≤2|1-1|+1；
∴f（1）=1；
（2）∵f（x-1）=f（-x-1），
∴函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象關(guān)于x=-1對(duì)稱，
又∵當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）的最小值為0，
∴f（x）=a（x+1）²，a＞0；
又∵f（1）=4a=1；
∴a=

1

4

；
故f（x）=

1

4

（x+1）²；
（3）∵f（x+t）=

1

4

（x+t+1）²≤x，
∴x²+（2t-2）x+t²+2t+1≤0；
設(shè)g（x）=x²+（2t-2）x+t²+2t+1，
則g（1）=t²+4t≤0，g（m）=m²+（2t-2）m+t²+2t+1≤0；
則-4≤t≤0，1-t-2

-t

≤m≤1-t+2

-t

，
所以m≤1+4+2•

4

=9，
故m的最大值為9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，同時(shí)考查了恒成立問(wèn)題及存在性問(wèn)題的應(yīng)用，屬于中檔題．