Question

15．已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿足f′（x）＜f（x），f（1）=1，則不等式f（x）＜e^x-1的解集為（1，+∞）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x-1}}$（x∈R），研究g（x）的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x-1}}$（x∈R），
則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x-1}}$，
∵f′（x）＜f（x），
∴f′（x）-f（x）＜0
∴g′（x）＜0，
∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞減，
∵f（x）＜e^x-1，f（1）=1，
∴g（x）＜g（1）
∴x＞1，
∴不等式f（x）＜e^x-1的解集為（1，+∞）．
故答案為：（1，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．