Question

3．已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿足f′（x）＞f（x），且f（x+2）為奇函數(shù)，f（4）=-1，則不等式f（x）＜e^x的解集為（　�。�

• A． （-2，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，0）

Answer 1

分析 令h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用導(dǎo)數(shù)和已知即可得出其單調(diào)性．再利用函數(shù)的奇偶性和已知可得h（0）=1，即可得出．

解答 解：設(shè)h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則h′（x）=$\frac{{e}^{x}（f′（x）-f（x））}{{e}^{2x}}$，
∵f′（x）＞f（x），∴h′（x）＞0．
∴函數(shù)h（x）是R上的增函數(shù)，
∵函數(shù)f（x+2）是奇函數(shù)，
∴f（-x+2）=-f（x+2），
∴函數(shù)關(guān)于（2，0）對稱，
∴f（0）=-f（4）=1，
原不等式等價(jià)為h（x）＜1，
∴不等式f（x）＜e^x等價(jià)h（x）＜1?h（x）＜h（0），
∴$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$．
∵h(yuǎn)（x）在R上單調(diào)遞增，
∴x＜0．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式、函數(shù)的奇偶性及對稱性的應(yīng)用．