Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)且f（a+x）=f（a-x），則使f(

1

2

)+f(

3

2

)+f(

5

2

)+f(

7

2

)=0成立的a值有

 

個(gè)．

Answer 1

分析：由已知可知，f（-x）=-f（x）結(jié)合條件f（a+x）=f（a-x）可求函數(shù)的周期，結(jié)合所求的式子即可求解a

解答：解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）
∵f（a+x）=f（a-x）

∴f（2a-x）=f（x）=-f（-x）

∴f（2a+x）=-f（x），f（4a+x）=f（x）即函數(shù)是以4a為周期的函數(shù)

當(dāng)a=1時(shí)，周期T=4，
∵f(

1

2

)+f(

3

2

)+f(

5

2

)+f(

7

2

)=0成立

∴f（

7

2

）=f（4-

1

2

）=-f（

1

2

），f（

5

2

）=f（4-

3

2

）=-f（

3

2

），滿足條件
∴a=1
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)的奇偶性及對(duì)稱(chēng)性及周期性的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用已知知識(shí)．