Question

6．已知曲線(xiàn)C：x²+y²-2x-4y+m=0和直線(xiàn)1：x+2y-4=0；
（1）當(dāng)曲線(xiàn)C表示圓時(shí)，求m的取值范圍；
（2）當(dāng)曲線(xiàn)C表示圓時(shí)，被直線(xiàn)1截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$．求m的值
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使得曲線(xiàn)C與直線(xiàn)1相交于M，N兩點(diǎn)．且滿(mǎn)足0M⊥ON（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若存在．求m的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)對(duì)x²+y²-2x-4y+m=0變形，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知m＜5，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式計(jì)算可知弦心距d，利用弦心距、半徑與半弦長(zhǎng)的關(guān)系計(jì)算即得結(jié)論；
（3）通過(guò)聯(lián)立直線(xiàn)與曲線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理可知y₁+y₂=$\frac{16}{5}$，y₁y₂=$\frac{8+m}{5}$，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到關(guān)于m的方程，進(jìn)而解方程即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵x²+y²-2x-4y+m=0，
∴（x-1）²+（y-2）²=5-m，
又∵曲線(xiàn)C表示圓，
∴5-m＞0，即m＜5；
（2）由（1）可知m＜5，
又∵直線(xiàn)1：x+2y-4=0，
∴圓心到直線(xiàn)l的距離d=$\frac{|1+4-4|}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵直線(xiàn)1截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$，
∴5-m=$（\frac{2\sqrt{5}}{2}）^{2}$+$（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}$，
解得：m=-$\frac{1}{5}$；
（3）結(jié)論：存在實(shí)數(shù)m=$\frac{8}{5}$，使得曲線(xiàn)C與直線(xiàn)1相交于M，N兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足0M⊥ON（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
理由如下：
聯(lián)立直線(xiàn)與曲線(xiàn)方程，消去x整理得：
5y²-16y+8+m=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
y₁+y₂=$\frac{16}{5}$，y₁y₂=$\frac{8+m}{5}$，
由0M⊥ON可知$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，（4-2y₁）（4-2y₂）+y₁y₂=0，
整理得：16+5y₁y₂-8（y₁+y₂）=0，
即16+5•$\frac{8+m}{5}$-8•$\frac{16}{5}$=0，
解得：m=$\frac{8}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)和圓的方程的應(yīng)用，涉及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、勾股定理、韋達(dá)定理、向量的坐標(biāo)運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．