Question

6．已知a_n=lg$\frac{100}{{2}^{n-1}}$，b_n=10${\;}^{{a}_{n}}$．
（1）求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）數(shù)列{a_n}中前多少項的和最大？并求出這個最大值；
（3）數(shù)列{a_n}的前n項和為負數(shù)時，最小的項數(shù)是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明，
（2）利用函數(shù)思想求出數(shù)列{a_n}中前7項的和最大，再判斷出數(shù)列{a_n}是2為首項以-lg2為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式即可求出，
（3）根據(jù)S_n=2n-$\frac{n（n-1）lg2}{2}$，以及函數(shù)的思想求出當n=15時，數(shù)列{a_n}的前n項和為負數(shù)，問題得以解決．

解答 解：（1）∵a_n=lg$\frac{100}{{2}^{n-1}}$，
∴b_n=10${\;}^{{a}_{n}}$=$\frac{100}{{2}^{n-1}}$=100•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴b_n-1=100•（$\frac{1}{2}$）^n-2，
∴$\frac{_{n}}{_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，
（2）a_n=lg$\frac{100}{{2}^{n-1}}$=2-（n-1）ln2，
∴a_n=2-（n-1）lg2≥0，
∵a₇=2-6g2=lg100-lg64＞0
a₈=2-7lg2=lg100-lg128＜0，
∴數(shù)列{a_n}中前7項的和最大，
∴a_n-a_n-1=2-（n-1）ln2-2+（n-2）lg2=-lg2=lg$\frac{1}{2}$，
∴a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是2為首項以-lg2為公差的等差數(shù)列，
∴S₇=7×2-$\frac{7（7-1）lg2}{2}$=14-21lg2，
（3）∵S_n=2n-$\frac{n（n-1）lg2}{2}$，
∵S_n=2n-$\frac{n（n-1）lg2}{2}$＜0，
∴4-（n-1）lg2＜0，
∴l(xiāng)g10⁴＜lg2^（n-1），
∴10⁴＜2^n-1，
∴n＞14，
∴當n=15時，數(shù)列{a_n}的前n項和為負數(shù)，
∴a₁₅=2-14ln2．

點評 本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)和定義以及前n項和公式，屬于中檔題．