Question

1．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，P為C上的任意點．
（1）設點A的坐標為（3，0），求|PA|的最小值
（2）求證：點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)．

Answer 1

分析 （1）P（x，y），利用兩點間的距離公式，結(jié)合消元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)形式進行求解即可．
（2）求出雙曲線的漸近線，結(jié)合點到直線的距離公式進行求解．

解答 解：（1）設P（x，y），則$\frac{{x}^{2}}{4}$-1=y²，
則|PA|=$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{4}{x}^{2}-6x+8}$=$\sqrt{\frac{5}{4}（x-\frac{12}{5}）^{2}+\frac{4}{5}}$

當x=$\frac{12}{5}$時，PA的最小值為$\sqrt{\frac{4}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，

（2）雙曲線的漸近線：y=$±\frac{1}{2}$，設P（x，y），則$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，即$\frac{{x}^{2}-4{y}^{2}}{4}$=1．則x²-4y²=4，
P到兩條漸近線的距離乘積$\frac{|x-2y|}{\sqrt{5}}•\frac{|x+2y|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|{x}^{2}-4{y}^{2}|}{5}$=$\frac{4}{5}$為常數(shù)．

點評 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，設出點的坐標，利用點到直線的距離公式以及兩點間的距離公式進行化簡轉(zhuǎn)化是解決本題的關鍵．