如圖,在四棱錐P-ABCD中,已知側(cè)面PAD為等腰直角三角形,底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,∠ABC=∠APD=90°,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且AB=4,AP=PD=BC=CD=2.
(1)求證:PA⊥BD;
(2)若E為側(cè)棱PB的中點(diǎn),求直線AE與底面ABCD所成角的正弦值.
考點(diǎn):直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)
專題:綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(1)利用平面ADP⊥平面ABCD,證明BD⊥平面ADP,即可證明PA⊥BD;
(2)證明∠EAH即為直線AE與平面ABCD的所成角,再求出直線AE與底面ABCD所成角的正弦值.
解答: (1)證明:由已知條件易得:AB=4,AD=BD=2
2
,則BD⊥AD,
又平面ADP⊥平面ABCD,平面ADP∩平面ABCD=AD,BD?平面ABCD,
故BD⊥平面ADP,
又AP?平面ADP,從而有AP⊥BD…(6分)
(2)解:如圖,取AD中點(diǎn)O,連接PO,OB,并取OB中點(diǎn)H,連接AH,EH,
∵PA=PD,∴PO⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO?平面PAD,
∴PO⊥平面ABCD,
又 EH∥PO,
∴EH⊥平面ABCD
則∠EAH即為直線AE與平面ABCD的所成角
由(1)AP⊥BD,又AP⊥PD,PD∩BD=D∴AP⊥平面PBD∴AP⊥PB,∴PB=
AB2-AP2
=2
3
AE=
AP2+PE2
=
7
sin∠EAH=
EH
AE
=
2
2
7
=
14
14
,
直線AE與平面ABCD的所成角的正弦值為
14
14
.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線AE與底面ABCD所成角的正弦值,考查平面與平面垂直的性質(zhì),考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

證明:
1
n(n+1)
n
-
n-1
.(n≥2)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若m.n是兩條不同的直線,α、β是兩個(gè)不同的平面,則下列命題不正確的是( 。
A、若α∥β,m⊥α,則m⊥β
B、若α∩β=m,n與α、β所成的角相等,則m⊥n
C、若m∥α,m⊥β,則α⊥β
D、若m∥n,m⊥α,則n⊥α

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=(x-1)ex+1,x∈[0,1]
(Ⅰ)證明:f(x)≥0
(Ⅱ)若a<
ex-1
x
<b在x∈(0,1)恒成立,求b-a的最小值.
(Ⅲ)證明:f(x)圖象恒在直線y=x-
1
2
的上方.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)m,n∈R,若直線(m+1)x+(n+1)y-2=0與圓(x-1)2+(y-1)2=1相切,則mn的取值范圍是( 。
A、[3-2
2
,3+2
2
]
B、(-∞,3-2
2
]∪[3+2
2
,+∞)
C、[1-
2
,1+
2
]
D、(-∞,1-
2
]∪[1+
2
,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的漸近線方程為:y=±
3
x,右頂點(diǎn)為(1,0).
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)已知直線y=x+m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,且線段AB的中點(diǎn)為M(x0,y0).當(dāng)x0≠0時(shí),求
y0
x0
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知等差數(shù)列{an}滿足a3=15,a4+a6=22,Sn為{an}的前n項(xiàng)和.
(1)求通項(xiàng)公式an及Sn;
(2)設(shè){bn-an}是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,BC的中點(diǎn),O是EF的中點(diǎn),現(xiàn)在沿DE,DF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體,使A,B,C三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為G,則在四面體D-EFG中必有( 。
A、GF⊥△DEF所在平面
B、DO⊥△EFG所在平面
C、DG⊥△EFG所在平面
D、GO⊥△EFG所在平面

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖是計(jì)算t=12×22×…×i2的程序,程序中循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)為( 。
A、3B、4C、5D、6

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