Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x+sinx

x

，g（x）=xcosx-sinx
（1）求證：當(dāng)x∈（0，π]時(shí)，g（x）＜0；
（2）若存在x∈（0，π），使得f（x）＜a成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）求出函數(shù)g（x）=xcosx-sinx的導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)在（0，π]上符號(hào)，進(jìn)而判斷出g（x）在（0，π]上為減函數(shù)，進(jìn)而得到g（x）＜g（0）=0；
（2）求出函數(shù)f（x）=

x+sinx

x

的導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)在（0，π]上符號(hào)，進(jìn)而判斷出f（x）在（0，π]上為減函數(shù)，將存在性問題轉(zhuǎn)化為最值問題后，可得a的取值范圍．

解答： 證明：（1）∵g（x）=xcosx-sinx
∴g′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，
∵x∈（0，π]，
∴g′（x）≤0恒成立，
∴g（x）=xcosx-sinx在（0，π]上為減函數(shù)，
故g（x）＜g（0）=0
（2）∵函數(shù)f（x）=

x+sinx

x

，
∴f′（x）=

xcosx-sinx

x2

，
∵x∈（0，π]，
∴f′（x）≤0恒成立，
∴f（x）=

x+sinx

x

在（0，π]上為減函數(shù)，
當(dāng)x=π時(shí)，f（x）取最小值1，
若存在x∈（0，π），使得f（x）＜a成立，
則a＞1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單綜合應(yīng)用，難度中檔．