Question

已知函數f（x）=1-2sin²

x

2

．
（Ⅰ）在區(qū)間[

π

2

，

π

2

]上任取x₀，求滿足f（x₀）≥

1

2

的概率；
（Ⅱ）若f（α）=

2 2

3

，α為第四象限角，求

sin(π-2α)+cos(π+α)

tanα

的值．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,幾何概型,運用誘導公式化簡求值

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式求出f（x₀）≥

1

2

的x的范圍，利用幾何概型求解概率即可；
（Ⅱ）通過f（α）=

2 2

3

，α為第四象限角，利用同角三角函數的基本關系式求解sinα，利用誘導公式直接化簡求解

sin(π-2α)+cos(π+α)

tanα

的值．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=1-2sin2

x

2

=cosx…（1分）
當x0∈[-

π

2

，

π

2

]，滿足f(x0)≥

1

2

的范圍是[-

π

3

，

π

3

]…（3分）
由幾何概型可知滿足f(x0)≥

1

2

的概率是P=

π 3 -(- π 3 )

π 2 -(- π 2 )

=

2

3

…（5分）
（Ⅱ）由題意可得cosα=

2 2

3

，α為第四象限角，所以sinα=-

1

3

，tanα=-

1

2 2

，…（7分）
所以

sin(π-2α)+cos(π+α)

tanα

=

sin2α-cosα

tanα

=

2sinαcosα-cosα

tanα

…（9分）

sin(π-2α)+cos(π+α)

tanα

=

40

9

…（10分）

點評：本題考查二倍角公式的應用，誘導公式的應用，幾何概型，考查計算能力．