Question

右圖為函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的部分圖象，M、N是它與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，D、C分別為它的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，E（0，1）是線段MD的中點(diǎn)，且

MD

•

MN

=

π2

8

，則函數(shù)f（x）的解析式為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由已知點(diǎn)E（0，1）是線段MD的中點(diǎn)知A=2，根據(jù)

MD

•

MN

=

π2

8

，求得ω=2，又由E（0，1）是線段MD的中點(diǎn)，分析可得D、M的坐標(biāo)，進(jìn)而可得φ的值，從而求得函數(shù)的解析式．

解答： 解：由已知點(diǎn)E（0，1）是線段MD的中點(diǎn)知A=2，根據(jù)

MD

•

MN

=

π2

8

，
可得|

MD

|•|

MN

|•cos∠DMN=

1

2

•

MN

2=

1

2

(

π

ω

)2=

π2

8

，求得ω=2．
∴函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ），
又由E（0，1）是線段MD的中點(diǎn)，則D的縱坐標(biāo)為2，且點(diǎn)M、D的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．
又由ω=2，則周期T=

2π

2

=π．
設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-a，2a=

1

4

•T=

π

4

，∴a=

π

8

，
故M的坐標(biāo)為（-

π

8

，0），D的坐標(biāo)為（

π

8

，2）．
根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2•（-

π

8

）+φ=0，
可得φ=

π

4

，∴f（x）=2sin（2x+

π

4

），
故答案為：f（x）=2sin（2x+

π

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的圖象特征，由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，屬于中檔題．