Question

12．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1  的離心率是 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$，其一條準(zhǔn)線方程為x=$\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)雙曲線C的左右焦點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)D為該雙曲線右支上一點(diǎn)，直線AD與其左支交于點(diǎn)E，若$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{ED}$，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，可求a，c，由b²=c²-a²可求b，可求雙曲線的方程
（II）由（I）知A（-2，0），設(shè)D（x₀，y₀），E（x₁，y₁）則由$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{ED}$，可得x₁=$\frac{λ{(lán)x}_{0}-2}{1+λ}$，y₁=$\frac{λ{(lán)y}_{0}}{1+λ}$，結(jié)合E，D在雙曲線上，可求x₀，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)可求λ的取值范圍．

解答 解：（I）由題意可得，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
∴a=$\sqrt{3}$，c=2，b=1，
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}$=1（4分）
（II）由（I）知A（-2，0），設(shè)D（x₀，y₀），E（x₁，y₁）
則由$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{ED}$，
可得x₁=$\frac{λ{(lán)x}_{0}-2}{1+λ}$，y₁=$\frac{λ{(lán)y}_{0}}{1+λ}$，
∵E在雙曲線上
∴$\frac{1}{3}$（$\frac{λ{(lán)x}_{0}-2}{1+λ}$）²-（$\frac{λ{(lán)y}_{0}}{1+λ}$）²=1
（-2+λx0）2-3（λy0）2=3（1+λ）2
∵D在雙曲線
∴可得x₀=$\frac{1-6λ}{4λ}$$≥\sqrt{3}$，
∴λ≤$\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2}$，
∵D在雙曲線的左支，點(diǎn)D在右支
∴0＞λ≤$\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2}$（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了利用雙曲線的性質(zhì)求解雙曲線的方程，雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于綜合試題．