Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為曲線的一個焦點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線的準(zhǔn)線于，直線交拋物線于點(diǎn).

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）若、、三個點(diǎn)滿足，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 或.

【解析】試題分析： 求出曲線的焦點(diǎn)，即可算出拋物線方程設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，得，再結(jié)合，算出結(jié)果

解析：（Ⅰ）解由曲線，可得，所以曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其中，故， 的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意知，得，所拋物線的方程為

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程得，消去得

，設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系得，

因?yàn)?/span>，故，得，由及，

解得或，代入，解得或

故的方程為或，化簡得或

另解：如圖，由，可設(shè)，則

，因?yàn)?/span>，所以

解得， ，所以，在中，

，即（為直線的斜率），所以

直線的方程為，即，由于對稱性知另一條直線的方程為.