Question

某村欲修建一橫斷面為等腰梯形的水渠，為降低成本，必須盡量減少水與水渠壁的接觸面積，若水渠的橫斷面面積設(shè)計為定值m平方米，渠深8米，則水渠壁的傾斜角α為多少時，方能使修建成本最低？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：作BE⊥DC于E，令y=AD+DC+BC，由已知可得y=

m

8

+

8(2-cosα)

sinα

（0°＜α＜90°），令u=

2-cosα

sinα

，求出u取最小值時α的大小，可得結(jié)論．

解答： 解：作BE⊥DC于E，

在Rt△BEC中，BC=

8

sinα

，CE=hcotα，
又AB-CD=2CE=16cotα，AB+CD=

m

4

，
故CD=

m

8

-8cotα．
設(shè)y=AD+DC+BC，
則y=

m

8

-8cotα+

16

sinα

=

m

8

+

8(2-cosα)

sinα

（0°＜α＜90°），
由于m是常量，欲使y最小，只需u=

2-cosα

sinα

取最小值，
u可看作（0，2）與（-sinα，cosα）兩點連線的斜率，
由于α∈（0°，90°），
點（-sinα，cosα）在曲線x²+y²=1（-1＜x＜0，0＜y＜1）上運動，

當(dāng)過（0，2）的直線與曲線相切時，直線斜率最小，此時切點為（-

3

2

，

1

2

），
則有sinα=

3

2

，且cosα=

1

2

，那么α=60°，
故當(dāng)α=60°時，修建成本最低．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的最值，直線與圓的位置關(guān)系，其中求出水與渠壁的接觸面y的解析式，將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，是解答的關(guān)鍵．