Question

有一條由西向東的河流，甲城位于河西頭的南岸邊，乙城位于河?xùn)|頭離南岸6km處，乙城到河南岸的垂足與甲城相距30km，兩城要在此河南岸設(shè)一水廠取水，從水廠到甲、乙兩城分別按直線埋放水管，其費用分別為每千米2000元和2500元，問此水廠應(yīng)設(shè)在何處，才能使埋放水管的費用最��？并求出最省的水管費用．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)水廠與乙城到河岸的垂直距離為xkm，則與甲城距離為（30-x）km，與乙城距離為

36+x2

km，埋放水管的總費用為y=2000（30-x）+2500

36+x2

（0≤x≤30），利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)極值點，由實際意義可知即為最值點．

解答： 解：設(shè)水廠與乙城到河岸的垂直距離為xkm，則與甲城距離為（30-x）km，與乙城距離為

36+x2

km，
埋放水管的總費用為y=2000（30-x）+2500

36+x2

（0≤x≤30），
∴y′=-2000+

2500

36+x2

，
令y′=0，解得x=±8（負(fù)值舍去），
當(dāng)x=8時，y=69000（元），
又當(dāng)x=0時，y=75000，當(dāng)x=30時，y=15000

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＞75000，
在x∈[0，30]中僅有一個極值點，且69000＜75000．
故當(dāng)水廠與甲城距離為22km時，費用最省為69000元．

點評：該題考查導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查學(xué)生的應(yīng)用意識．