Question

20．一個(gè)摸球游戲，規(guī)則如下：在一不透明的紙盒中，裝有6個(gè)大小相同、顏色各異的玻璃球．參加者交費(fèi)1元可玩1次游戲，從中有放回地摸球3次．參加者預(yù)先指定盒中的某一種顏色的玻璃球，然后摸球．當(dāng)所指定的玻璃球不出現(xiàn)時(shí)，游戲費(fèi)被沒(méi)收；當(dāng)所指定的玻璃球出現(xiàn)1次，2次，3次時(shí)，參加者可相應(yīng)獲得游戲費(fèi)的0倍，1倍，k倍的獎(jiǎng)勵(lì)（k∈N^*），且游戲費(fèi)仍退還給參加者．記參加者玩1次游戲的收益為X元．
（1）求概率P（X=0）的值；
（2）為使收益X的數(shù)學(xué)期望不小于0元，求k的最小值．
（注：概率學(xué)源于賭博，請(qǐng)自覺(jué)遠(yuǎn)離不正當(dāng)?shù)挠螒颍。?

Answer 1

分析 （1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出現(xiàn)1次”，由此能求出P（X=0）．
（2）依題意，X的可能取值為k，-1，1，0，分別求出相應(yīng)的概率，由此求出E（X），進(jìn)而能求出k的最小值．

解答 解：（1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出現(xiàn)1次”，
則P（X=0）=3×$\frac{1}{6}×（\frac{5}{6}）^{2}$=$\frac{25}{72}$．
（2）依題意，X的可能取值為k，-1，1，0，
且P（X=k）=（$\frac{1}{6}$）³=$\frac{1}{216}$，
P（X=-1）=（$\frac{5}{6}$）³=$\frac{125}{216}$，
P（X=1）=3×$（\frac{1}{6}）^{2}×\frac{5}{6}$=$\frac{5}{72}$，
P（X=0）=3×$\frac{1}{6}×（\frac{5}{6}）^{2}$=$\frac{25}{72}$，
∴參加游戲者的收益X的數(shù)學(xué)期望為：
E（X）=$k×\frac{1}{216}+（-1）×\frac{125}{216}+1×\frac{5}{72}$=$\frac{k-110}{216}$，
為使收益X的數(shù)學(xué)期望不小于0元，故k≥110，
∴k的最小值為110．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查滿足條件的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)的合理運(yùn)用．